33. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 5, а острый угол, прилежащий к нему, равен 30°. Найдите площадь треугольника. В ответе запишите площадь, умноженную на √3.

Решение:

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Пусть \( a \) — противолежащий катет, \( b = 5 \) — прилежащий катет, \( α = 30^\circ \).

\( \tan(α) = \frac{a}{b} \) \( \rightarrow \) \( \tan(30^\circ) = \frac{a}{5} \)

\[ a = 5 \cdot \tan(30^\circ) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} \]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot 5 = \frac{25}{2\sqrt{3}} \]

По условию, нужно найти площадь, умноженную на \( \sqrt{3} \):

\[ S \cdot \sqrt{3} = \frac{25}{2\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = \frac{25}{2} = 12.5 \]

Ответ: 12.5