32. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 8, а угол, лежащий против него, равен 30°. Найдите площадь треугольника. В ответе напишите площадь, делённую на √3.

Решение:

В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Пусть \( a = 8 \) — противолежащий катет, \( b \) — прилежащий катет, \( α = 30^\circ \).

\( \tan(α) = \frac{a}{b} \) \( \rightarrow \) \( \tan(30^\circ) = \frac{8}{b} \)

\[ b = \frac{8}{\tan(30^\circ)} = \frac{8}{1/\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \]

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \]

По условию, нужно найти площадь, делённую на \( \sqrt{3} \):

\[ \frac{S}{\sqrt{3}} = \frac{32\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 32 \]

Ответ: 32