32. Площадь параллелограмма ABCD равна 56. Точка Е — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции AECB.

Решение:

• Площадь параллелограмма ABCD равна 56.
• Высота параллелограмма, проведенная к основанию CD, обозначим ее h.
• Площадь параллелограмма: S_ABCD = CD * h = 56.
• Точка E — середина стороны CD, следовательно, CE = ED = CD/2.
• Трапеция AECB имеет основания AE и CB (которые параллельны) и высоту, равную высоте параллелограмма h (если рассматривать CD как основание). Однако, это не так.
• Рассмотрим трапецию AECB. Ее основаниями являются AE и BC. Но AE не является основанием параллельно BC.
• Правильнее рассматривать трапецию AECB как часть параллелограмма.
• Площадь трапеции AECB можно найти как площадь параллелограмма минус площадь треугольника AED.
• Площадь треугольника AED: S_AED = (1/2) * ED * h, где h - высота, проведенная к основанию CD.
• Так как ED = CD/2, то S_AED = (1/2) * (CD/2) * h = (1/4) * CD * h.
• Так как S_ABCD = CD * h = 56, то S_AED = (1/4) * 56 = 14.
• Площадь трапеции AECB = S_ABCD - S_AED = 56 - 14 = 42.
• Другой способ:
• Площадь параллелограмма ABCD = 56.
• Площадь треугольника ABC = Площадь треугольника ADC = 56 / 2 = 28.
• В треугольнике ADC, AE - медиана (так как E - середина CD). Медиана делит треугольник на два равновеликих по площади треугольника.
• Площадь треугольника ADE = Площадь треугольника AEC = 28 / 2 = 14.
• Площадь трапеции AECB = Площадь треугольника ABC + Площадь треугольника AEC.
• Площадь трапеции AECB = 28 + 14 = 42.

Ответ: 42