31. Найдите угол между векторами а и а + б задачи 30.

Решение:

Из задачи 30 имеем: \( |\vec{a}| = 1 \), \( |\vec{b}| = 1 \), \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \), \( |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3} \).

Пусть \( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \). Нам нужно найти угол \( \beta \) между \( \vec{a} \) и \( \vec{c} \).

Используем формулу для косинуса угла между векторами:

\[ \cos{\beta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\|\vec{a}\| \|\vec{c}\|} \]

1. Найдём скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{c} \):

\[ \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} \]

Подставляем известные значения: \( |\vec{a}|^2 = 1^2 = 1 \) и \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} \).

\[ \vec{a} \cdot \vec{c} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]

2. Подставим значения в формулу для \( \cos{\beta} \):

\[ \cos{\beta} = \frac{\frac{3}{2}}{1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

3. Найдём угол \( \beta \):

\[ \beta = \arccos{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = 30^{\circ} \]

Ответ: \( 30^{\circ} \).