28. Докажите, что для любых векторов а и б (ab)² ≤ a²b².

Решение:

Неравенство Коши-Буняковского утверждает, что для любых векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) выполняется неравенство:

\[ (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \le \|\vec{a}\|^2 \|\vec{b}\|^2 \]

где \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) — скалярное произведение векторов, а \( \|\vec{a}\|^2 \) и \( \|\vec{b}\|^2 \) — квадраты их длин.

Из определения скалярного произведения, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos{\alpha} \), где \( \alpha \) — угол между векторами.

Подставим это в неравенство:

\[ (\|\vec{a}\| \|\vec{b}\| \cos{\alpha})^2 \le \|\vec{a}\|^2 \|\vec{b}\|^2 \]

\[ \|\vec{a}\|^2 \|\vec{b}\|^2 \cos^2{\alpha} \le \|\vec{a}\|^2 \|\vec{b}\|^2 \]

Разделим обе части на \( \|\vec{a}\|^2 \|\vec{b}\|^2 \) (предполагая, что векторы ненулевые):

\[ \cos^2{\alpha} \le 1 \]

Это неравенство верно, так как значение \( \cos^2{\alpha} \) всегда находится в диапазоне от 0 до 1.

Если один из векторов нулевой, то \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \) и \( a^2 b^2 = 0 \), что также удовлетворяет неравенству \( 0 \le 0 \).

Что и требовалось доказать.