29. Найдите угол между векторами а (1; 2) и б (1; -1/3).

Решение:

Для нахождения угла между векторами \( \vec{a} = (1; 2) \) и \( \vec{b} = (1; -\frac{1}{3}) \) используем формулу скалярного произведения:

\[ \cos{\alpha} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} \]

1. Найдём скалярное произведение:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (2)(-\frac{1}{3}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \]

2. Найдём длины векторов:

\[ \|\vec{a}\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \]

\[ \|\vec{b}\| = \sqrt{1^2 + (-\frac{1}{3})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{10}{9}} = \frac{\sqrt{10}}{3} \]

3. Вычислим косинус угла:

\[ \cos{\alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{10}}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{50}}{3}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} \]

4. Найдём сам угол:

\[ \alpha = \arccos{\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)} \]

Ответ: \( \alpha = \arccos{\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)} \).