30. Тип 18 № 5778 Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если $$\angle АОВ = 120^{\circ}$$ и $$МО = 8$$.

В треугольнике МОА, угол ОАМ равен 90 градусов (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). Треугольник АОВ - равнобедренный, так как ОА = ОВ (радиусы). Угол МОА = $$\angle МОВ = \frac{1}{2} \angle АОВ = \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 60^{\circ}$$. В прямоугольном треугольнике МОА, $$OA = MO \times \sin(60^{\circ}) = 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$. Расстояние между точками касания А и В равно длине хорды АВ. В равнобедренном треугольнике АОВ, проведем высоту ОК к стороне АВ. Угол АОК = 60 градусов. $$AK = OA \times \sin(60^{\circ}) = 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6$$. Длина хорды $$AB = 2 \times AK = 2 \times 6 = 12$$.