29. Тип 17 № 8707 Найдите значение выражения $$\sqrt{6\sqrt{5}+14}-\sqrt{5}$$.

Выражение можно упростить, если подкоренное выражение является полным квадратом. Попробуем представить $$6\sqrt{5}+14$$ как $$(a+b\sqrt{5})^2$$. $$(a+b\sqrt{5})^2 = a^2 + 5b^2 + 2ab\sqrt{5}$$. Сравнивая коэффициенты, $$2ab = 6$$ и $$a^2+5b^2 = 14$$. Из $$ab=3$$, возьмем $$a=3, b=1$$. Тогда $$a^2+5b^2 = 3^2 + 5(1)^2 = 9+5 = 14$$. Значит, $$6\sqrt{5}+14 = (3+\sqrt{5})^2$$. Тогда $$\sqrt{6\sqrt{5}+14} = \sqrt{(3+\sqrt{5})^2} = 3+\sqrt{5}$$. Выражение равно $$(3+\sqrt{5}) - \sqrt{5} = 3$$.