30. На рисунке 77 ∠ABK = ∠FBM. Луч BP — биссектриса угла KBF. Докажите, что луч BP биссектриса угла ABM.

Доказательство:

Дано: \( \angle ABK = \angle FBM \), \( BP \) — биссектриса \( \angle KBF \).

Доказать: \( BP \) — биссектриса \( \angle ABM \).

Решение:

1. Так как \( BP \) — биссектриса \( \angle KBF \), то \( \angle KBP = \angle PBF \).
2. Из условия известно, что \( \angle ABK = \angle FBM \).
3. Рассмотрим угол \( \angle ABM \). Он состоит из углов \( \angle ABK \), \( \angle KBP \), \( \angle PBF \) и \( \angle FBM \).
4. \( \angle ABM = \angle ABK + \angle KBP + \angle PBF + \angle FBM \)
5. Заменим \( \angle KBP \) на \( \angle PBF \) (из п. 1) и \( \angle ABK \) на \( \angle FBM \) (из п. 2):
6. \( \angle ABM = \angle FBM + \angle PBF + \angle PBF + \angle FBM \)
7. \( \angle ABM = 2 \cdot \angle FBM + 2 \cdot \angle PBF = 2 (\angle FBM + \angle PBF) \)
8. Так как \( \angle KBF = \angle PBF + \angle FBM \), то \( \angle ABM = 2 \cdot \angle KBF \).
9. Теперь рассмотрим \( \angle ABP \).
10. \( \angle ABP = \angle ABK + \angle KBP \)
11. Заменим \( \angle ABK \) на \( \angle FBM \) (из п. 2) и \( \angle KBP \) на \( \angle PBF \) (из п. 1):
12. \( \angle ABP = \angle FBM + \
    \angle PBF \)
13. Следовательно, \( \angle ABP = \angle KBF \).
14. Рассмотрим \( \angle PBM \).
15. \( \angle PBM = \angle PBF + \angle FBM \)
16. Так как \( \angle KBP = \angle PBF \) и \( \angle ABK = \angle FBM \), то \( \angle KBP = \angle ABK \).
17. \( \angle PBM = \angle KBP + \angle ABK \)
18. \( \angle PBM = \angle ABP \)
19. Поскольку \( \angle ABP = \angle PBM \), луч BP является биссектрисой угла ABM.

Что и требовалось доказать.