30. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 75 и ВС = 10. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

1. Радиус окружности равен AC = 75.
2. Треугольник ABC является прямоугольным, так как BC - касательная к окружности с центром A.
3. По теореме Пифагора, AB^2 + BC^2 = AC^2, откуда AB = sqrt(75^2 - 10^2) = sqrt(5625 - 100) = sqrt(5525) = 25*sqrt(8.84) = 25*sqrt(221)/5 = 5*sqrt(221).
4. Длина касательной из точки B к окружности равна AB. Ошибка в рассуждении. Касательная проведена из точки B к окружности с центром A. Значит, треугольник ABC прямоугольный в точке C. Тогда AB^2 = AC^2 + BC^2 = 75^2 + 10^2 = 5625 + 100 = 5725. AB = sqrt(5725) = 5*sqrt(229).
5. Перечитаем условие. Окружность с центром А, проходящая через С. Значит, радиус равен АС = 75. Касательная проведена из точки В к этой окружности. Значит, угол между радиусом (АС) и касательной (ВС) не прямой. Угол между радиусом, проведенным в точку касания, и касательной прямой. Точка касания не С. Пусть точка касания будет Т. Тогда АТ = 75. Треугольник АТВ прямоугольный в точке Т. АВ = АС + СВ = 75 + 10 = 85. Тогда ВТ = sqrt(AB^2 - AT^2) = sqrt(85^2 - 75^2) = sqrt((85-75)(85+75)) = sqrt(10 * 160) = sqrt(1600) = 40.