3. Высота ВН параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки АН = 8 и HD = 40. Диагональ параллелограмма BD равна 50. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

Высота \( BH \) параллелограмма \( ABCD \) делит сторону \( AD \) на отрезки \( AH = 8 \) и \( HD = 40 \). Следовательно, сторона \( AD = AH + HD = 8 + 40 = 48 \).

В прямоугольном треугольнике \( BHD \) катет \( HD = 40 \) и гипотенуза \( BD = 50 \). Найдём высоту \( BH \) по теореме Пифагора:

\[ BH^2 + HD^2 = BD^2 \]

\[ BH^2 + 40^2 = 50^2 \]

\[ BH^2 + 1600 = 2500 \]

\[ BH^2 = 2500 - 1600 = 900 \]

\[ BH = \sqrt{900} = 30 \].

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне:

\[ S_{ABCD} = AD \cdot BH = 48 \cdot 30 \]

\[ S_{ABCD} = 1440 \].

Ответ: 1440.