3. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины С, делит основание AD на отрезки длиной 11 и 14. Найдите длину основания ВС.

Дано:

• Равнобедренная трапеция ABCD (AD - большее основание).
• Высота CH.
• \( HD = 11 \).
• \( AH = 14 \).

Найти: Основание BC.

Решение:

1. Так как трапеция равнобедренная, то \( AH = (AD - BC) / 2 \) и \( HD = (AD - BC) / 2 \).
2. Высота, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки AH и HD.
3. Вариант 1: Если точка H лежит между A и D, и CH - высота, то AD = AH + HD = 14 + 11 = 25.
4. В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами от боковых сторон большего основания, равны: \( AH = (AD - BC) / 2 \).
5. В данном случае, отрезок, отсекаемый от большего основания, равен 11 (так как 14 > 11).
6. Значит, \( HD = 11 \).
7. По свойству равнобедренной трапеции, \( AH = HD = 11 \).
8. Тогда основание AD = AH + HD + BC, если CH проведена из C и опускается на AD.
9. Однако, в условии сказано, что высота из С делит основание AD на отрезки 11 и 14. Это означает, что точка, куда опущена высота, делит AD.
10. Пусть CH - высота, H на AD.
11. Если H ближе к D, то HD = 11, AH = 14. Тогда AD = AH + HD = 14 + 11 = 25.
12. По свойству равнобедренной трапеции, \( AH = (AD - BC) / 2 \).
13. \( 14 = (25 - BC) / 2 \).
14. \( 28 = 25 - BC \).
15. \( BC = 25 - 28 = -3 \). Это невозможно.
16. Значит, H ближе к A, тогда AH = 11, HD = 14. AD = 11 + 14 = 25.
17. По свойству равнобедренной трапеции, \( HD = (AD - BC) / 2 \).
18. \( 11 = (25 - BC) / 2 \).
19. \( 22 = 25 - BC \).
20. \( BC = 25 - 22 = 3 \).

Ответ: 3