3. Вычислить производную сложной функции: y = 2^{ln x}

Решение:

Чтобы найти производную функции \( y = 2^{\ln x} \), используем правило дифференцирования сложной функции и производную показательной функции \( (a^u)' = a^u \ln a \cdot u' \).

В данном случае:

• Основание показательной функции \( a = 2 \).
• Показатель степени \( u = \ln x \).

1. Найдем производную показателя степени:

\( u' = (\ln x)' = \frac{1}{x} \).

2. Применим формулу производной сложной показательной функции:

\( y' = (2^{\ln x})' = 2^{\ln x} \cdot \ln 2 \cdot (\ln x)' \)

3. Подставим производную показателя:

\( y' = 2^{\ln x} \cdot \ln 2 \cdot \frac{1}{x} \)

4. Упростим выражение:

\( y' = \frac{\ln 2}{x} \cdot 2^{\ln x} \)

Ответ: Производная функции \( y = 2^{\ln x} \) равна \( \frac{\ln 2}{x} \cdot 2^{\ln x} \).