1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: y = \(\frac{x-3}{x^2+16}\); [-5;10]

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = \frac{x-3}{x^2+16} \) на отрезке \( [-5; 10] \), выполним следующие шаги:

1. Найдём производную функции.
   Используем правило частного: \( y' = \frac{(x-3)'(x^2+16) - (x-3)(x^2+16)'}{(x^2+16)^2} \)
   \( y' = \frac{1 \cdot (x^2+16) - (x-3)(2x)}{(x^2+16)^2} \)
   \( y' = \frac{x^2+16 - 2x^2+6x}{(x^2+16)^2} \)
   \( y' = \frac{-x^2+6x+16}{(x^2+16)^2} \)
2. Найдем критические точки (где производная равна нулю или не существует).
   Знаменатель \( (x^2+16)^2 \) всегда положителен, поэтому производная существует для всех \( x \).
   Приравняем числитель к нулю: \( -x^2+6x+16 = 0 \)
   \( x^2-6x-16 = 0 \)
   Найдем корни квадратного уравнения: \( x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-16)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36+64}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2} \)
   \( x_1 = \frac{6+10}{2} = 8 \)
   \( x_2 = \frac{6-10}{2} = -2 \)
3. Проверим, попадают ли критические точки в отрезок [-5; 10].
   Обе точки, \( x = 8 \) и \( x = -2 \), принадлежат отрезку \( [-5; 10] \).
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.
   
   • При \( x = -5 \): \( y(-5) = \frac{-5-3}{(-5)^2+16} = \frac{-8}{25+16} = \frac{-8}{41} \)
   • При \( x = -2 \): \( y(-2) = \frac{-2-3}{(-2)^2+16} = \frac{-5}{4+16} = \frac{-5}{20} = -\frac{1}{4} \)
   • При \( x = 8 \): \( y(8) = \frac{8-3}{8^2+16} = \frac{5}{64+16} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} \)
   • При \( x = 10 \): \( y(10) = \frac{10-3}{10^2+16} = \frac{7}{100+16} = \frac{7}{116} \)
5. Сравним полученные значения.
   \( y(-5) = -\frac{8}{41} \approx -0.195 \)
   \( y(-2) = -\frac{1}{4} = -0.25 \)
   \( y(8) = \frac{1}{16} = 0.0625 \)
   \( y(10) = \frac{7}{116} \approx 0.0603 \)
   Наименьшее значение: \( -0.25 \) при \( x = -2 \).
   Наибольшее значение: \( 0.0625 \) при \( x = 8 \).

Ответ: Наибольшее значение функции равно \( \frac{1}{16} \), наименьшее значение функции равно -\( \frac{1}{4} \).