2. Определить основные свойства функции, исследовать на выпуклость, найти точки перегиба: y = $\frac{x^3-1}{4x^2}$

Question

$Фото задания: 2. Определить основные свойства функции, исследовать на выпуклость, найти точки перегиба: y = $\frac{x^3-1}{4x^2}$$ Фото задания

Accepted Answer

1. Область определения:

Знаменатель $ 4x^2 $ не должен быть равен нулю, значит $ x \neq 0 $. Область определения: $ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $.

2. Симметрия:

$ y(-x) = \frac{(-x)^3-1}{4(-x)^2} = \frac{-x^3-1}{4x^2} $. Функция не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями:

С осью Oy: При $ x=0 $ функция не определена.
С осью Ox: $ y=0 $ $ \Rightarrow $ $ x^3-1=0 $ $ \Rightarrow $ $ x^3=1 $ $ \Rightarrow $ $ x=1 $. Точка пересечения с осью Ox: $ (1; 0) $.

4. Асимптоты:

Вертикальная асимптота: $ x=0 $ (ось Oy).
Наклонные асимптоты: $ k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3-1}{4x^3} = \frac{1}{4} $.
$ b = \lim_{x \to \pm\infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^3-1}{4x^2} - \frac{1}{4}x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3-1-x^3}{4x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-1}{4x^2} = 0 $.
Наклонная асимптота: $ y = \frac{1}{4}x $.

5. Определение свойств функции (монотонность, экстремумы):

Найдём первую производную:
$ y' = \frac{(x^3-1)'(4x^2) - (x^3-1)(4x^2)'}{(4x^2)^2} = \frac{3x^2(4x^2) - (x^3-1)(8x)}{16x^4} $
$ y' = \frac{12x^4 - 8x^4 + 8x}{16x^4} = \frac{4x^4 + 8x}{16x^4} = \frac{x^3+2}{4x^3} $
Критические точки: $ y'=0 $ $ \Rightarrow $ $ x^3+2=0 $ $ \Rightarrow $ $ x^3 = -2 $ $ \Rightarrow $ $ x = -\sqrt[3]{2} $.
Исследуем знак производной:
- При $ x < -\sqrt[3]{2} $ (например, $ x=-2 $): $ y' = \frac{(-2)^3+2}{4(-2)^3} = \frac{-8+2}{-32} = \frac{-6}{-32} > 0 $ — функция возрастает.
- При $ -\sqrt[3]{2} < x < 0 $ (например, $ x=-1 $): $ y' = \frac{(-1)^3+2}{4(-1)^3} = \frac{-1+2}{-4} = \frac{1}{-4} < 0 $ — функция убывает.
- При $ x > 0 $ (например, $ x=1 $): $ y' = \frac{1^3+2}{4(1)^3} = \frac{3}{4} > 0 $ — функция возрастает.
Экстремумы:
В точке $ x = -\sqrt[3]{2} $ производная меняет знак с $ + $ на $ - $, значит, это точка локального максимума.
$ y(-\sqrt[3]{2}) = \frac{(-\sqrt[3]{2})^3-1}{4(-\sqrt[3]{2})^2} = \frac{-2-1}{4 \sqrt[3]{4}} = \frac{-3}{4 \sqrt[3]{4}} = -\frac{3 \sqrt[3]{2}}{8} $.

6. Точки перегиба и выпуклость:

Найдём вторую производную:
$ y'' = (\frac{x^3+2}{4x^3})' = \frac{1}{4} (\frac{(x^3+2)'x^3 - (x^3+2)(x^3)'}{(x^3)^2}) = \frac{1}{4} (\frac{3x^2 \cdot x^3 - (x^3+2)(3x^2)}{x^6}) $
$ y'' = \frac{1}{4} (\frac{3x^5 - 3x^5 - 6x^2}{x^6}) = \frac{1}{4} (\frac{-6x^2}{x^6}) = \frac{-6}{4x^4} = -\frac{3}{2x^4} $
Исследуем знак второй производной:
$ y'' = -\frac{3}{2x^4} $. Так как $ x^4 $ всегда положительно (для $ x \neq 0 $), то $ y'' $ всегда отрицательна.
Выпуклость:
$ y'' < 0 $ на всей области определения. Значит, функция выпукла вверх на $ (-\infty; 0) $ и на $ (0; +\infty) $.
Точки перегиба:
Вторая производная $ y'' $ никогда не равна нулю и не меняет знак. Точек перегиба нет.

7. Построение графика (схематично):

Учёт асимптоты $ y=\frac{1}{4}x $ и $ x=0 $.
Функция возрастает до $ x = -\sqrt[3]{2} $ (максимум), затем убывает до $ x=0 $.
Правее $ x=0 $ функция возрастает.
Пересечение с осью Ox в $ x=1 $.

Основные свойства функции:

Область определения: $ D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty) $.
Пересечение с осью Ox: $ (1; 0) $.
Вертикальная асимптота: $ x=0 $.
Наклонная асимптота: $ y = \frac{1}{4}x $.
Возрастает на $ (-\infty; -\sqrt[3]{2}) $ и $ (0; +\infty) $.
Убывает на $ (-\sqrt[3]{2}; 0) $.
Локальный максимум в точке $ x = -\sqrt[3]{2} $, $ y = -\frac{3}{4 \sqrt[3]{4}} $.
Выпукла вверх на $ (-\infty; 0) $ и $ (0; +\infty) $.
Точек перегиба нет.

Ответ: Точки перегиба отсутствуют. Функция выпукла вверх на всей области определения.

2. Определить основные свойства функции, исследовать на выпуклость, найти точки перегиба: y = \(\frac{x^3-1}{4x^2}\)