3. В прямоугольном треугольнике ABC, < C = 90°, <B = 45°, CD = 8 см (высота). Найти ВА

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle A = 90° - \angle B = 90° - 45° = 45° \). Так как \( \angle A = \angle B \), треугольник ABC равнобедренный, AC = BC.
2. CD — высота, проведенная из вершины прямого угла. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных треугольника, каждому из которых равен исходный треугольник.
3. Рассмотрим треугольник BCD. \( \angle B = 45° \), \( \angle BDC = 90° \) (так как CD — высота). Следовательно, \( \angle BCD = 180° - 90° - 45° = 45° \).
4. Значит, треугольник BCD — равнобедренный, BC = CD = 8 см.
5. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что BC = 8 см и \( \angle B = 45° \).
6. Используя синус угла B: \( \sin(\angle B) = \frac{AC}{AB} \) и косинус угла B: \( \cos(\angle B) = \frac{BC}{AB} \).
7. Из косинуса: \( AB = \frac{BC}{\cos(\angle B)} = \frac{8}{\cos(45°)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \) см.

Ответ: \( 8\sqrt{2} \) см.