3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 5√3 см, а высота равна 5 см. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Ответ запишите в градусах.

3. Угол наклона бокового ребра правильной треугольной пирамиды

Дано: Правильная треугольная пирамида. Сторона основания \( a = 5√{3} \) см. Высота пирамиды \( H = 5 \) см.

Найти: Угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение:

1. Найдем апофему и радиус вписанной окружности основания:
   Основание — правильный треугольник. Высота правильного треугольника \( h_{осн} = ½ × a × √{3} = ½ × 5√{3} × √{3} = ½ × 5 × 3 = 7.5 \) см.
   Радиус вписанной окружности \( r = ½ h_{осн} = ½ × 7.5 = 3.75 \) см.
   Радиус описанной окружности \( R = 2r = 2 × 3.75 = 7.5 \) см.
2. Найдем угол наклона бокового ребра:
   Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между боковым ребром и радиусом описанной окружности, проведенным из вершины основания к концу этого ребра. Обозначим этот угол как \( α \).
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), радиусом описанной окружности (R) и боковым ребром (L).
   \( \tan(α) = \frac{H}{R} \)
   \( \tan(α) = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3} \)
   \( α = \frac{2}{3} \) (арктангенс).
   Чтобы найти угол в градусах, воспользуемся калькулятором: \( α ≈ 33.69^\circ \).

Ответ: Угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет приблизительно 33.69°.