2. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетом 12 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если ее наименьшая боковая грань - квадрат.

2. Прямая призма с прямоугольным треугольником в основании

Дано: Прямая призма. Основание — прямоугольный треугольник. Гипотенуза = 13 см, катет = 12 см. Наименьшая боковая грань — квадрат.

Найти: Площадь полной поверхности призмы.

1. Найдем второй катет основания:
   По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \), где \( c = 13 \) см (гипотенуза), \( a = 12 \) см (катет).
   \( 12^2 + b^2 = 13^2 \)
   \( 144 + b^2 = 169 \)
   \( b^2 = 169 - 144 = 25 \)
   \( b = √{25} = 5 \) см.
2. Найдем высоту призмы:
   Стороны основания: 5 см, 12 см, 13 см. Наименьшая боковая грань — квадрат. Это означает, что наименьшая сторона основания равна высоте призмы. Наименьшая сторона основания — 5 см.
   Следовательно, высота призмы \( h = 5 \) см.
3. Найдем площадь полной поверхности призмы:
   \( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \).
   Площадь основания (прямоугольного треугольника):
   \( S_{осн} = ½ × a × b = ½ × 5 × 12 = 30 \) см².
   Периметр основания:
   \( P_{осн} = 5 + 12 + 13 = 30 \) см.
   Площадь боковой поверхности:
   \( S_{бок} = P_{осн} × h = 30 × 5 = 150 \) см².
   Площадь полной поверхности:
   \( S_{полн} = 2 × 30 + 150 = 60 + 150 = 210 \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности призмы равна 210 см².