3. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорды АС и AD (рис. 63). Докажите, что АС = AD.

Доказательство:

В условии задачи не указано, что хорды AC и AD равны. Однако, если задача подразумевает, что точки C и D симметричны относительно диаметра AB, то AC будет равно AD.

Рассмотрим случай, когда C и D — симметричные точки относительно AB:

1. Диаметр AB перпендикулярен хордам AC и AD, или же углы ACB и ADB являются прямыми (так как они опираются на диаметр).
2. Если C и D симметричны относительно AB, то дуги AC и AD будут равны.
3. Равные дуги стягиваются равными хордами.

Другое возможное условие для равенства хорд AC и AD:

Если треугольники AOC и AOD конгруэнтны:

• AO — общая сторона.
• OC = OD (радиусы).
• Если \( \angle AOC = \angle AOD \), то по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) \( \triangle AOC \cong \triangle AOD \).
• Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон AC = AD.

Примечание: Без дополнительных условий (например, равенства углов ∠AOC и ∠AOD, или того, что C и D являются симметричными точками относительно AB) доказать равенство хорд AC и AD невозможно. Если рисунок 63 подразумевает симметрию, то доказательство через равные дуги или конгруэнтные треугольники верно.