2. К окружности с центром О проведена касательная АВ (В — точка касания), если АВ= 8 см и ∠AOB = 45°.

Решение:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, угол OBA равен 90°.

В прямоугольном треугольнике OBA:

• По теореме Пифагора: \( OA^2 = OB^2 + AB^2 \).
• По определению тангенса: \( \text{tg}(\angle AOB) = \frac{AB}{OB} \).

Подставим известные значения:

\( \text{tg}(45^{\circ}) = \frac{8}{OB} \)

Так как \( \text{tg}(45^{\circ}) = 1 \), то \( 1 = \frac{8}{OB} \).

Отсюда \( OB = 8 \) см. Это радиус окружности.

Теперь найдем OA:

\( OA^2 = 8^2 + 8^2 \)

\( OA^2 = 64 + 64 \)

\( OA^2 = 128 \)

\( OA = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \) см.

Ответ: Радиус окружности равен 8 см, расстояние от центра до точки А равно 8√2 см.