3. Упростите выражение \(\left(\frac{4}{x^{2}-4}+\frac{1}{2-x}\right) \cdot \frac{x^{2}+4 x+4}{3}\)

Решение:

Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что \( x^{2}-4 = (x-2)(x+2) \) и \( 2-x = -(x-2) \).

\[ \frac{4}{x^{2}-4}+\frac{1}{2-x} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2} \]

Приведём к общему знаменателю \( (x-2)(x+2) \):

\[ = \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{4 - (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4-x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2-x}{(x-2)(x+2)} \]

Заметим, что \( 2-x = -(x-2) \). Поэтому:

\[ = \frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{-1}{x+2} \]

Теперь умножим на вторую дробь:

\[ \frac{-1}{x+2} \cdot \frac{x^{2}+4 x+4}{3} \]

Заметим, что \( x^{2}+4 x+4 = (x+2)^{2} \).

\[ = \frac{-1}{x+2} \cdot \frac{(x+2)^{2}}{3} \]

Сократим \( (x+2) \):

\[ = \frac{-1 \cdot (x+2)}{3} = \frac{-(x+2)}{3} = \frac{-x-2}{3} \]

Ответ: \( \frac{-x-2}{3} \).