3. Точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$, $D$ и $E$. Докажите, что прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит…$ Фото задания

3. Точки $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $B$, $D$ и $E$. Докажите, что прямая $AC$ лежит в плоскости $\alpha$.

Accepted Answer

Условие противоречиво для невырожденного треугольника: поскольку $D$ — середина $AB$, точки $A,B,D$ лежат на одной прямой, а поскольку $E$ — середина $BC$, точки $B,C,E$ лежат на одной прямой. Следовательно, точки $B,D,E$ принадлежат плоскости треугольника $ABC$, и эта плоскость единственна. Но тогда утверждение, что $AC$ лежит в $\alpha$, верно.

Действительно, так как $D\in\alpha$ и $B\in\alpha$, прямая $BD=AB$ лежит в $\alpha$, поэтому $A\in\alpha$. Аналогично, из $B,E\in\alpha$ следует, что прямая $BE=BC$ лежит в $\alpha$, поэтому $C\in\alpha$. Плоскость содержит точки $A\ne C$, значит, содержит прямую $AC$.

Ответ: $AC\subset\alpha$.