3. Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=46° и ∠OAB=27°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Следовательно, величина дуги AC равна \( 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 46^{\circ} = 92^{\circ} \).

Угол BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Угол BAC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC.

В треугольнике OAB: OA = OB (радиусы), значит, треугольник равнобедренный. \( \angle OBA = \angle OAB = 27^{\circ} \).

\( \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (27^{\circ} + 27^{\circ}) = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ} \).

Угол BOC = \( \angle ABC - \angle OBA = 46^{\circ} - 27^{\circ} = 19^{\circ} \).

В треугольнике BOC: OB = OC (радиусы), значит, треугольник равнобедренный.

\( \angle OCB = \angle OBC \)

\( \angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) \)

\( 19^{\circ} = 180^{\circ} - 2 \cdot \angle OCB \)

\( 2 \cdot \angle OCB = 180^{\circ} - 19^{\circ} = 161^{\circ} \)

\( \angle OCB = \frac{161^{\circ}}{2} = 80.5^{\circ} \)

Альтернативное решение:

В треугольнике OAB, \( \angle OAB = \angle OBA = 27^{\circ} \). \( \angle AOB = 180^{\circ} - 2 \times 27^{\circ} = 126^{\circ} \).

\( \angle ABC = 46^{\circ} \). \( \angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 46^{\circ} - 27^{\circ} = 19^{\circ} \).

В треугольнике OBC, OB = OC (радиусы), поэтому \( \angle OCB = \angle OBC = 19^{\circ} \).

Ответ: 19°.