3. Решите уравнение: a) \(4^{x-1} + 4^x + 4^{x+1} = 84\); б) \(\log_2 (3x - 6) = \log_2 (2x - 3)\)

Решение:

a) Вынесем общий множитель \(4^{x-1}\):

\[ 4^{x-1} + 4^x + 4^{x+1} = 84 \]

\[ 4^{x-1} (1 + 4^1 + 4^2) = 84 \]

\[ 4^{x-1} (1 + 4 + 16) = 84 \]

\[ 4^{x-1} (21) = 84 \]

\[ 4^{x-1} = \frac{84}{21} \]

\[ 4^{x-1} = 4 \]

\[ x-1 = 1 \]

\[ x = 2 \]

б) Если логарифмы равны и основания одинаковы, то и аргументы равны:

\[ 3x - 6 = 2x - 3 \]

\[ 3x - 2x = -3 + 6 \]

\[ x = 3 \] Проверим условие существования логарифма: \( 3x - 6 > 0 \) и \( 2x - 3 > 0 \). При \( x = 3 \): \( 3(3) - 6 = 9 - 6 = 3 > 0 \) и \( 2(3) - 3 = 6 - 3 = 3 > 0 \). Условие выполнено.

Ответ: а) x = 2; б) x = 3.