2. Вычислите: a) \(\log_{\sqrt{7}} 49\); б) \(8^{2\log_{8} 3}\); в) \(\log_2 \log_3 81\); г) \(\log_6 4 + \log_6 9\); д) \(\log_2 16 - \log_2 32\)

Решение:

a) \(\log_{\sqrt{7}} 49 = x \Rightarrow (\sqrt{7})^x = 49 \Rightarrow (7^{1/2})^x = 7^2 \Rightarrow 7^{x/2} = 7^2 \Rightarrow x/2 = 2 \Rightarrow x = 4\).

б) Используем свойство \(a^{log_a b} = b\):

\[ 8^{2\log_{8} 3} = (8^{\log_{8} 3})^2 = 3^2 = 9 \]

в) Сначала вычислим внутренний логарифм:

\[ \log_3 81 = \log_3 3^4 = 4 \] Теперь подставим это значение:

\[ \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2 \]

г) Используем свойство \(\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)\):

\[ \log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36 = \log_6 6^2 = 2 \]

д) Используем свойство \(\log_a x - \log_a y = \log_a (x/y)\):

\[ \log_2 16 - \log_2 32 = \log_2 (16/32) = \log_2 (1/2) = \log_2 2^{-1} = -1 \]

Ответ: а) 4; б) 9; в) 2; г) 2; д) -1.