1. Вычислите: a) 10^{2/5} * 10^{0.5} * 10^{0.1}; b) (1/16 * 81^{-1})^{-1/4}; в) \(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3}\)\(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5}\)

Решение:

a) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ 10^{\frac{2}{5}} \cdot 10^{0.5} \cdot 10^{0.1} = 10^{0.4} \cdot 10^{0.5} \cdot 10^{0.1} = 10^{0.4 + 0.5 + 0.1} = 10^1 = 10 \]

б) Используем свойства степеней:

\[ \left( \frac{1}{16} \cdot 81^{-1} \right)^{-\frac{1}{4}} = \left( \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{81} \right)^{-\frac{1}{4}} = \left( \frac{1}{1296} \right)^{-\frac{1}{4}} = 1296^{\frac{1}{4}} \] Так как \( 6^4 = 1296 \), то \( \sqrt[4]{1296} = 6 \).

в) Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \), но здесь у нас \( a = \sqrt[3]{5} \) и \( b = \sqrt{3} \), а также \( c = \sqrt{3} \) и \( d = \sqrt[3]{5} \). Это похоже на \( (a-b)(c+d) \). Раскрываем скобки:

\[ (\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5}) = (\sqrt[3]{5} - \sqrt{3}) (\sqrt[3]{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt[3]{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = \sqrt[3]{25} - 3 \]

Ответ: а) 10; б) 6; в) \(\sqrt[3]{25} - 3\).