3. Решите графически систему уравнений \(\begin{cases} x - y = 3 \\ 3x - y = 13 \end{cases}\)

Решение:

1. Преобразуем каждое уравнение к виду \( y = kx + b \):

• Из первого уравнения: \( y = x - 3 \).
• Из второго уравнения: \( y = 3x - 13 \).

2. Построим графики этих линейных функций. Для каждого графика найдём две точки.

Для \( y = x - 3 \):

• Если \( x = 0 \), то \( y = -3 \). Точка: (0, -3).
• Если \( y = 0 \), то \( x = 3 \). Точка: (3, 0).

Для \( y = 3x - 13 \):

• Если \( x = 0 \), то \( y = -13 \). Точка: (0, -13).
• Если \( y = 0 \), то \( 3x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3} \approx 4.33 \). Точка: (\(\frac{13}{3}\), 0).
• Если \( x = 4 \), то \( y = 3(4) - 13 = 12 - 13 = -1 \). Точка: (4, -1).

3. Графики пересекаются в точке, которая является решением системы. По построению, точки (0, -3) и (3, 0) определяют первую прямую. Точки (4, -1) и (\(\frac{13}{3}\), 0) определяют вторую прямую. Визуально, или подставив в оба уравнения, находим точку пересечения.

Подставим координаты точки (4, -1) в оба уравнения:

• Первое уравнение: \( 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \neq 3 \). Ошибка в расчёте точки.
• Возьмём другой набор точек:

Для \( y = x - 3 \):

• \( x = 3, y = 0 \)
• \( x = 4, y = 1 \)

Для \( y = 3x - 13 \):

• \( x = 4, y = 3(4) - 13 = 12 - 13 = -1 \)
• \( x = 5, y = 3(5) - 13 = 15 - 13 = 2 \)

Проверим пересечение при \( x=4 \). Первая прямая даёт \( y=1 \), вторая — \( y=-1 \). Это не точка пересечения.

Проверим систему алгебраически для получения правильного ответа:

\( x - y = 3 \Rightarrow y = x - 3 \)

\( 3x - (x - 3) = 13 \)

\( 3x - x + 3 = 13 \)

\( 2x = 10 \Rightarrow x = 5 \)

\( y = 5 - 3 = 2 \)

Таким образом, точка пересечения должна быть (5, 2).

Перестроим точки для графика:

Для \( y = x - 3 \):

• \( x = 5, y = 5 - 3 = 2 \). Точка: (5, 2).
• \( x = 0, y = -3 \). Точка: (0, -3).

Для \( y = 3x - 13 \):

• \( x = 5, y = 3(5) - 13 = 15 - 13 = 2 \). Точка: (5, 2).
• \( x = 4, y = 3(4) - 13 = 12 - 13 = -1 \). Точка: (4, -1).

Ответ: x = 5, y = 2.