№3. Постройте график функции y = −x² + 6x − 5, определите для неё: а) область определения функции; б) множество значений функции; в) ось симметрии графика; г) точку пересечения с осью y; д) нули функции; е) промежутки знакопостоянства; ж) промежутки возрастания и убывания функции; з) наибольшее и наименьшее значения.

Выделим полный квадрат: \(y=-x^2+6x-5=-(x-3)^2+4\). Значит, график — парабола с ветвями вниз, вершиной \((3,4)\) и осью симметрии \(x=3\).

Для построения используем также точки пересечения с осями: \(y(0)=-5\), а \(-(x-1)(x-5)=0\) при \(x=1,5\).

а) Квадратичная функция определена при всех действительных x: \(D(f)=\mathbb R\).

б) Наибольшее значение достигается в вершине и равно 4, поэтому \(E(f)=(-\infty,4]\).

в) Ось симметрии: \(x=3\).

г) При \(x=0\) получаем \(y=-5\), точка пересечения с осью y — \((0,-5)\).

д) Нули функции: \(x=1\) и \(x=5\).

е) Парабола выше оси x между корнями и ниже неё вне этого промежутка: \(y>0\) при \(15\).

ж) До вершины функция возрастает, после неё убывает: возрастает на \((-infty,3)\), убывает на \((3,\infty)\).

з) Наибольшее значение — 4 при \(x=3\). Наименьшего значения нет, поскольку функция не ограничена снизу.