3. Постройте график функции y = (x^2 + 3x) / |x + 3| и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = \frac{x^2 + 3x}{|x + 3|} \).

Преобразуем числитель: \( x^2 + 3x = x(x + 3) \).

Получаем \( y = \frac{x(x + 3)}{|x + 3|} \).

Рассмотрим два случая для знаменателя \( |x + 3| \):

1. Случай 1: \( x + 3 > 0 \), то есть \( x > -3 \).

В этом случае \( |x + 3| = x + 3 \).

\( y = \frac{x(x + 3)}{x + 3} = x \).

Таким образом, для \( x > -3 \) график функции совпадает с прямой \( y = x \), но с выколотой точкой, так как \( x \) не может быть равен -3.

При \( x = -3 \) значение \( y = x \) равно \( -3 \). Значит, точка \( (-3, -3) \) будет выколотой.

2. Случай 2: \( x + 3 < 0 \), то есть \( x < -3 \).

В этом случае \( |x + 3| = -(x + 3) \).

\( y = \frac{x(x + 3)}{-(x + 3)} = -x \).

Таким образом, для \( x < -3 \) график функции совпадает с прямой \( y = -x \).

График функции:

• Для \( x > -3 \) — прямая \( y = x \) (луч, исходящий из выколотой точки \( (-3, -3) \) вправо вверх).
• Для \( x < -3 \) — прямая \( y = -x \) (луч, исходящий из выколотой точки \( (-3, -3) \) влево вверх).

График представляет собой две луча, исходящие из выколотой точки \( (-3, -3) \) в противоположные стороны.

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) не имеет с графиком ни одной общей точки.

Прямая \( y = m \) будет не иметь общих точек с графиком, если она проходит через выколотую точку \( (-3, -3) \) и не пересекает лучи.

Однако, лучи идут вверх (для \( x > -3 \) \( y \) возрастает от -3 до \( +\infty \), для \( x < -3 \) \( y \) возрастает от -3 до \( +\infty \)).

Прямая \( y = m \) будет иметь одну общую точку, если \( m = -3 \) (прямая пройдет через выколотую точку).

Прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек, если она находится ниже всех точек графика. Минимальное значение \( y \) на графике, не включая выколотую точку, стремится к -3, но не достигает его.

Значит, если \( m < -3 \), прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком.

Ответ: m < -3.