2. Постройте график данной функции y = |x^2 + 4x - 5| и определите, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Сначала построим параболу \( y = x^2 + 4x - 5 \).

Найдем вершину параболы: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2 \).

\( y_в = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \). Вершина в точке \( (-2, -9) \).

Найдем нули функции: \( x^2 + 4x - 5 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -4 \), \( x_1 x_2 = -5 \). Отсюда \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -5 \).

Теперь построим график \( y = |x^2 + 4x - 5| \). Часть параболы, которая находится ниже оси Ox (между \( x = -5 \) и \( x = 1 \)), будет симметрично отражена вверх. Вершина \( (-2, -9) \) станет \( (-2, 9) \).

Прямая, параллельная оси абсцисс, имеет вид \( y = m \).

Чтобы найти наибольшее число общих точек, нужно проанализировать график:

• Если \( m < 0 \), точек нет.
• Если \( m = 0 \), 2 точки (на оси Ox).
• Если \( 0 < m < 9 \), 4 точки.
• Если \( m = 9 \), 3 точки (вершина и две точки пересечения с отраженной частью).
• Если \( m > 9 \), 2 точки.

Наибольшее число общих точек — 4.

Ответ: 4.