1. Постройте график функции y = |x^2 + 11x - 4| + 6 + 30 и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком три общие точки.

Решение:

Данная функция имеет вид \( y = |x^2 + 11x - 4| + 36 \). Чтобы построить график, сначала построим параболу \( y = x^2 + 11x - 4 \).

Найдем вершину параболы: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{11}{2} = -5.5 \).

\( y_в = (-5.5)^2 + 11(-5.5) - 4 = 30.25 - 60.5 - 4 = -34.25 \).

Найдем нули функции \( x^2 + 11x - 4 = 0 \): \( x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 16}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{137}}{2} \approx \frac{-11 \pm 11.7}{2} \).

\( x_1 \approx \frac{0.7}{2} = 0.35 \), \( x_2 \approx \frac{-22.7}{2} = -11.35 \).

Теперь учтем модуль: часть параболы, лежащая ниже оси Ox, симметрично отражается вверх. Вершина \( (-5.5, -34.25) \) станет \( (-5.5, 34.25) \).

Далее добавим \( + 36 \), то есть весь график сдвинется вверх на 36 единиц. Новая вершина будет в точке \( (-5.5, 34.25 + 36) = (-5.5, 70.25) \).

Чтобы прямая \( y = m \) имела три общие точки с графиком \( y = |x^2 + 11x - 4| + 36 \), она должна проходить через точку излома графика, которая образовалась при отражении, или через точку экстремума (вершину).

Точки излома возникают там, где \( x^2 + 11x - 4 = 0 \), т.е. в точках \( x_1 \approx 0.35 \) и \( x_2 \approx -11.35 \). Значение функции в этих точках равно 36 (так как \( |0| + 36 = 36 \)).

Вершина полученного графика находится в точке \( (-5.5, 70.25) \).

Таким образом, три общие точки будут, когда \( m = 36 \) (прямая проходит через точки, где аргумент модуля равен нулю) или \( m = 70.25 \) (прямая проходит через вершину).

Наибольшее значение \( m \) для трех общих точек — \( 70.25 \).

Ответ: m = 70.25.