3. Перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла ромба, делит его сторону пополам. Меньшая диагональ ромба равна 12 см. Найдите углы и периметр ромба.

Обозначим сторону ромба через \(a\), а острый угол — через \(\alpha\). Перпендикуляр из вершины тупого угла опускается на противоположную сторону. Горизонтальная проекция стороны ромба равна половине стороны, поскольку основание перпендикуляра — середина этой стороны. Значит, \(a\cos\alpha=a/2\), поэтому \(\cos\alpha=1/2\) и \(\alpha=60°\).

Тупой угол равен \(180°-60°=120°\). При этих углах меньшая диагональ равна стороне ромба: она является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами \(a/2\) и \(a\sqrt3/2\). Следовательно, \(a=12\) см.

Периметр: \(P=4a=4\cdot12=48\) см.

Ответ: углы ромба — 60° и 120°; периметр — 48 см.