3. Основаниями усеченной пирамиды являются правильные треугольники со сторонами 6 см и 4 см. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно 1 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Рассмотрим соответствующие вершины оснований: пусть боковое ребро, равное 1 см, перпендикулярно плоскостям оснований. Обозначим это ребро как соединяющее вершины A и a. Поскольку основания параллельны, соответствующие стороны треугольников параллельны.

В боковых гранях при вершине A параллельные стороны имеют длины 6 см и 4 см, а расстояние между ними равно 1 см. Площадь каждой из двух таких трапеций:

\(S_1 = S_2 = \frac{6+4}{2} \cdot 1 = 5\) см².

Для третьей грани боковые рёбра равны \(\sqrt{5}\) см: горизонтальная составляющая каждого равна разности соответствующих сторон \(6-4=2\) см, а высота — 1 см. В этой грани расстояние между параллельными сторонами равно \(\sqrt{5}\) см. Поэтому её площадь:

\(S_3 = \frac{6+4}{2} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5}\) см².

Складываем площади боковых граней:

\(S_{бок} = 5 + 5 + 5\sqrt{5} = 10 + 5\sqrt{5}\) см².

Ответ: \(10 + 5\sqrt{5}\) см².