3. Определите, является ли прямоугольным треугольник, в котором сумма двух внутренних и одного внешнего угла равна 180°.

Решение:

Пусть в треугольнике углы равны \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\). Пусть \(\gamma\) — внешний угол. Тогда внутренний угол, смежный с ним, равен \(180^{\circ} - \gamma\).

По условию, сумма двух внутренних и одного внешнего угла равна \(180^{\circ}\). Рассмотрим три случая:

1. Сумма двух внутренних острых углов и внешнего угла, смежного с третьим внутренним углом: \( \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} \). Так как \( \alpha + \beta + (180^{\circ} - \gamma_{внутр}) = 180^{\circ} \), то \( \alpha + \beta = \gamma_{внутр} \). В треугольнике внешний угол равен сумме двух других внутренних углов. Это верно для любого треугольника. Треугольник не обязательно прямоугольный.
2. Сумма одного внутреннего острого угла, прямого угла и внешнего угла, смежного с прямым углом: Пусть \( \alpha \) — острый угол, \( 90^{\circ} \) — прямой, \( \gamma_{внешн} \) — внешний угол при прямом угле (\( \gamma_{внешн} = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \)). Тогда \( \alpha + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \) \( \alpha + 180^{\circ} = 180^{\circ} \) \( \alpha = 0^{\circ} \). Это невозможно.
3. Сумма двух внутренних углов, один из которых прямой, и внешнего угла: Если один из внутренних углов \( 90^{\circ} \), то сумма двух внутренних углов и внешнего угла может быть: \( 90^{\circ} + \beta + \gamma = 180^{\circ} \) \( \beta + \gamma = 90^{\circ} \). Поскольку \( \gamma \) — внешний угол, то \( \gamma = 180^{\circ} - \beta_{внутр} \). Но \( \beta_{внутр} \) уже учтён в сумме. Если \( \gamma \) — внешний, то \( \gamma = 180^{\circ} - \beta \). Тогда \( 90^{\circ} + \beta + 180^{\circ} - \beta = 180^{\circ} \) \( 270^{\circ} = 180^{\circ} \) — противоречие.

Если же под «внешним углом» понимается угол, который является внешним для данного треугольника, то случай 1 является общим для любого треугольника. Проверим, может ли этот случай быть прямоугольным:

Если \( \alpha = 90^{\circ} \), то \( 90^{\circ} + \beta + \gamma = 180^{\circ} \) \( \beta + \gamma = 90^{\circ} \). Так как \( \gamma \) — внешний угол, то \( \gamma = 180^{\circ} - \beta_{внутр} \). Если \( \beta_{внутр} \) — второй острый угол, то \( \gamma = 180^{\circ} - \beta \). Подставим: \( \beta + 180^{\circ} - \beta = 90^{\circ} \) \( 180^{\circ} = 90^{\circ} \) — противоречие.

Ответ: Нет, такой треугольник не обязательно прямоугольный. Условие \( \alpha + \beta + \gamma_{внешний} = 180^{\circ} \) выполняется для любого треугольника, если \( \gamma_{внешний} = 180^{\circ} - \gamma_{внутренний} \) и \( \alpha + \beta + \gamma_{внутренний} = 180^{\circ} \).