3. Определите, является ли прямоугольным треугольник, в котором сумма двух внешних и одного внутреннего угла равна 360°.

Решение:

Пусть углы треугольника \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\). Внешние углы, смежные с ними, равны \(180^{\circ} - \alpha\), \(180^{\circ} - \beta\), \(180^{\circ} - \gamma\).

По условию, сумма двух внешних и одного внутреннего угла равна \(360^{\circ}\). Рассмотрим случаи:

1. Два внешних угла острых и один внутренний: Пусть \( (180^{\circ} - \alpha) + (180^{\circ} - \beta) + \gamma = 360^{\circ} \). \( 360^{\circ} - \alpha - \beta + \gamma = 360^{\circ} \). \( -\alpha - \beta + \gamma = 0 \) \( \gamma = \alpha + \beta \). Так как \( \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} \), то \( \gamma + \gamma = 180^{\circ} \) \( 2\gamma = 180^{\circ} \) \( \gamma = 90^{\circ} \). Значит, треугольник прямоугольный.
2. Два внешних угла (при остром и прямом) и один внутренний (острый): Пусть \( (180^{\circ} - \alpha) + (180^{\circ} - 90^{\circ}) + \beta = 360^{\circ} \). \( 180^{\circ} - \alpha + 90^{\circ} + \beta = 360^{\circ} \). \( 270^{\circ} - \alpha + \beta = 360^{\circ} \). \( \beta - \alpha = 90^{\circ} \). Так как \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \), то \( \beta = 90^{\circ} + \alpha \). Подставляем: \( 90^{\circ} + \alpha - \alpha = 90^{\circ} \) \( 90^{\circ} = 90^{\circ} \). Этот случай также возможен. Если \( \beta - \alpha = 90^{\circ} \) и \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \), то \( \alpha = 0^{\circ} \) и \( \beta = 90^{\circ} \), что невозможно для треугольника.
3. Два внешних угла (при остром и прямом) и один внутренний (прямой): Пусть \( (180^{\circ} - \alpha) + (180^{\circ} - 90^{\circ}) + 90^{\circ} = 360^{\circ} \). \( 180^{\circ} - \alpha + 90^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \). \( 360^{\circ} - \alpha = 360^{\circ} \) \( \alpha = 0^{\circ} \). Невозможно.
4. Два внешних угла (при прямом и остром) и один внутренний (острый): Аналогично случаю 2, приводит к невозможному результату.
5. Три внешних угла: \( (180^{\circ} - \alpha) + (180^{\circ} - \beta) + (180^{\circ} - \gamma) = 360^{\circ} \). \( 540^{\circ} - (\alpha + \beta + \gamma) = 360^{\circ} \). \( 540^{\circ} - 180^{\circ} = 360^{\circ} \). \( 360^{\circ} = 360^{\circ} \). Этот случай также возможен для любого треугольника.

Если мы рассматриваем случай, когда внешний угол смежный с одним из острых, а второй внешний угол смежен с другим острым, и один внутренний угол (например, прямой), то:

Пусть \( \alpha \) — острый, \( \beta \) — острый, \( 90^{\circ} \) — прямой. Условие: \( (180^{\circ} - \alpha) + (180^{\circ} - \beta) + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( 360^{\circ} - (\alpha + \beta) + 90^{\circ} = 360^{\circ} \). \( -(\alpha + \beta) + 90^{\circ} = 0 \). \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \). Это условие верно для прямоугольного треугольника.

Ответ: Да, такой треугольник является прямоугольным, если два внутренних угла — острые, а внешний — смежен с прямым углом, или если три внешних угла. В случае, когда два внешних угла острых и один внутренний, треугольник прямоугольный (угол \(\gamma = 90^{\circ}\)).