2. В прямоугольном треугольнике сумма двух внешних углов при различных вершинах равна 200°. Найдите острые углы этого треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике один угол равен \(90^{\circ}\). Пусть острые углы равны \(\alpha\) и \(\beta\). Тогда \(\alpha + \beta = 90^{\circ}\).

Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов. Внешние углы при вершинах равны \(180^{\circ} - \text{внутренний угол}\).

Пусть внешние углы при острых углах равны \(\alpha_{внешн}\) и \(\beta_{внешн}\). Тогда \(\alpha_{внешн} = 180^{\circ} - \alpha\) и \(\beta_{внешн} = 180^{\circ} - \beta\).

По условию, сумма двух внешних углов при различных вершинах равна \(200^{\circ}\). Возможны случаи:

1. Сумма внешних углов при острых углах: \( (180^{\circ} - \alpha) + (180^{\circ} - \beta) = 200^{\circ} \) \( 360^{\circ} - (\alpha + \beta) = 200^{\circ} \) \( 360^{\circ} - 90^{\circ} = 200^{\circ} \) \( 270^{\circ} = 200^{\circ} \) - противоречие.
2. Сумма внешнего угла при прямом угле и внешнего угла при одном из острых углов: Внешний угол при прямом угле равен \(180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\). Пусть внешний угол при прямом угле и внешний угол при угле \(\alpha\) равны \(200^{\circ}\). \( 90^{\circ} + (180^{\circ} - \alpha) = 200^{\circ} \) \( 270^{\circ} - \alpha = 200^{\circ} \) \( \alpha = 70^{\circ} \). Тогда \(\beta = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ}\). Углы: \(70^{\circ}\) и \(20^{\circ}\).
3. Сумма внешнего угла при прямом угле и внешнего угла при другом остром угле: Аналогично, \(\beta = 70^{\circ}\) и \(\alpha = 20^{\circ}\).

Ответ: Острые углы треугольника равны \(70^{\circ}\) и \(20^{\circ}\).