3 Окружность вписана в трапецию, боковые стороны которой равны 13 и 15. Найдите периметр трапеции.

Задание 3. Окружность, вписанная в трапецию

Дано:

• Трапеция, в которую вписана окружность.
• Боковая сторона 1: \( c_1 = 13 \).
• Боковая сторона 2: \( c_2 = 15 \).

Найти: периметр трапеции.

Решение:

Для того чтобы в трапецию можно было вписать окружность, должно выполняться условие:

Сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Обозначим основания трапеции как \( a \) и \( b \), а боковые стороны как \( c_1 \) и \( c_2 \).

Условие для возможности вписать окружность:

\[ a + b = c_1 + c_2 \]

Периметр трапеции (P) — это сумма всех её сторон:

\[ P = a + b + c_1 + c_2 \]

Так как \( a + b = c_1 + c_2 \), мы можем подставить это равенство в формулу периметра:

\[ P = (a + b) + (c_1 + c_2) = (c_1 + c_2) + (c_1 + c_2) = 2(c_1 + c_2) \]

Или, что то же самое:

\[ P = (a + b) + (a + b) = 2(a + b) \]

Мы знаем значения боковых сторон:

• \( c_1 = 13 \)
• \( c_2 = 15 \)

Теперь найдем периметр:

\[ P = 2 \cdot (13 + 15) \]

\[ P = 2 \cdot 28 \]

\[ P = 56 \]

Ответ: 56