3. Найти критические точки. Уточнить точки экстремума $$f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + 3x - 2$$

Найдём критические точки и точки экстремума функции \( f(x) = -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + 3x - 2 \):

1. Найдём производную функции:
   \( f'(x) = \left( -\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^2 + 3x - 2 \right)' \)
   \( f'(x) = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{4} \cdot 2x + 3 \)
   \( f'(x) = -x^2 - \frac{1}{2}x + 3 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( -x^2 - \frac{1}{2}x + 3 = 0 \)
   Умножим на -1:
   \( x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0 \)
   Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:
   \( 2x^2 + x - 6 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
   \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 \)
   \( \sqrt{D} = 7 \).
4. Найдём корни:
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2 \).
5. Критические точки: \( x = -2 \) и \( x = \frac{3}{2} \).
6. Уточним точки экстремума, исследуя знак производной на интервалах:
   
   • Интервал \( (-\infty, -2) \): возьмём \( x = -3 \).
     \( f'(-3) = -(-3)^2 - \frac{1}{2}(-3) + 3 = -9 + \frac{3}{2} + 3 = -6 + 1.5 = -4.5 < 0 \). Функция убывает.
   • Интервал \( (-2, \frac{3}{2}) \): возьмём \( x = 0 \).
     \( f'(0) = -(0)^2 - \frac{1}{2}(0) + 3 = 3 > 0 \). Функция возрастает.
   • Интервал \( (\frac{3}{2}, \infty) \): возьмём \( x = 2 \).
     \( f'(2) = -(2)^2 - \frac{1}{2}(2) + 3 = -4 - 1 + 3 = -2 < 0 \). Функция убывает.
7. Сделаем выводы:
   
   • В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с "-" на "+", значит, это точка минимума.
   • В точке \( x = \frac{3}{2} \) производная меняет знак с "+" на "-", значит, это точка максимума.

Ответ: Критические точки: \( x = -2 \) и \( x = \frac{3}{2} \). Точка минимума: \( x = -2 \). Точка максимума: \( x = \frac{3}{2} \).