1. Исследовать на монотонность: $$y = x^5 - 5x^3$$

Question

Accepted Answer

Найдём производную функции:
$ y' = (x^5 - 5x^3)' = 5x^4 - 15x^2 $.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$ 5x^4 - 15x^2 = 0 $
$ 5x^2(x^2 - 3) = 0 $
Отсюда $ x^2 = 0 $ или $ x^2 = 3 $.
Следовательно, критические точки: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = -\sqrt{3} $, $ x_3 = \sqrt{3} $.
Определим знаки производной на интервалах:
- Интервал $ (-\infty, -\sqrt{3}) $: возьмём $ x = -2 $, $ y' = 5(-2)^4 - 15(-2)^2 = 5 \cdot 16 - 15 \cdot 4 = 80 - 60 = 20 > 0 $. Функция возрастает.
- Интервал $ (-\sqrt{3}, 0) $: возьмём $ x = -1 $, $ y' = 5(-1)^4 - 15(-1)^2 = 5 \cdot 1 - 15 \cdot 1 = 5 - 15 = -10 < 0 $. Функция убывает.
- Интервал $ (0, \sqrt{3}) $: возьмём $ x = 1 $, $ y' = 5(1)^4 - 15(1)^2 = 5 - 15 = -10 < 0 $. Функция убывает.
- Интервал $ (\sqrt{3}, \infty) $: возьмём $ x = 2 $, $ y' = 5(2)^4 - 15(2)^2 = 5 \cdot 16 - 15 \cdot 4 = 80 - 60 = 20 > 0 $. Функция возрастает.
Сделаем выводы о монотонности:
- Функция возрастает на интервалах $ (-\infty, -\sqrt{3}] $ и $ [\sqrt{3}, \infty) $.
- Функция убывает на интервалах $ [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] $.

Ответ: Функция возрастает на $ (-\infty, -\sqrt{3}] $ и $ [\sqrt{3}, \infty) $. Функция убывает на $ [-\sqrt{3}, \sqrt{3}] $.

Ответ: