3) Исследовать функцию и построить график. a) y = x^3 + 3x^2 - 9x - 1

3) Исследование функции y = x³ + 3x² - 9x - 1:

1. Область определения: \( D(y) = (-\infty; +\infty) \).


2. Производная: \( y' = 3x^2 + 6x - 9 \).


3. Критические точки: \( y' = 0 \) → \( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \) → \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Корни: \( x_1 = -3 \), \( x_2 = 1 \).


4. Интервалы монотонности:
   
   
   
   • На \( (-\infty; -3) \) и \( (1; +\infty) \) функция возрастает (y' > 0).
   
   
   • На \( (-3; 1) \) функция убывает (y' < 0).
   
   
   
   


5. Экстремумы:
   
   
   
   • Точка максимума: \( x = -3 \). \( y(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 1 = -27 + 27 + 27 - 1 = 26 \). Точка максимума: (-3; 26).
   
   
   • Точка минимума: \( x = 1 \). \( y(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) - 1 = 1 + 3 - 9 - 1 = -6 \). Точка минимума: (1; -6).
   
   
   
   


6. Нули функции: Корни уравнения \( x^3 + 3x^2 - 9x - 1 = 0 \) найти сложно, но можно оценить их положение.


7. Построение графика: отметить точки экстремумов (-3; 26) и (1; -6) и провести плавную кривую, учитывая интервалы возрастания и убывания.

Ответ: функция возрастает на \( (-\infty; -3) \cup (1; +\infty) \), убывает на \( (-3; 1) \). Максимум в точке (-3; 26), минимум в точке (1; -6).