3. Докажите тождество $\frac{b}{b-a}+\frac{a^2-b^2}{ab+a^2}\cdot\frac{b^2}{(b-a)^2}=-\frac{b}{a}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Докажите тождество $\frac{b}{b-a}+\frac{a^2-b^2}{ab+a^2}\cdot\frac{b^2}{(b-a)^2}=-\frac{b}{a}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область допустимых значений исходного выражения: $a\ne0$, $b\ne a$, $b\ne-a$.

Разложим на множители: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $ab+a^2=a(a+b)$.

Тогда произведение дробей упрощается:

$\frac{a^2-b^2}{ab+a^2}\cdot\frac{b^2}{(b-a)^2}=\frac{(a-b)(a+b)}{a(a+b)}\cdot\frac{b^2}{(b-a)^2}=-\frac{b^2}{a(b-a)}$, так как $a-b=-(b-a)$.

Сложим дроби:

$\frac{b}{b-a}-\frac{b^2}{a(b-a)}=\frac{ab-b^2}{a(b-a)}=\frac{b(a-b)}{a(b-a)}=-\frac{b}{a}$.

Следовательно, тождество доказано на области допустимых значений.

3. Докажите тождество \(\frac{b}{b-a}+\frac{a^2-b^2}{ab+a^2}\cdot\frac{b^2}{(b-a)^2}=-\frac{b}{a}\).