3. Докажите тождество: 2x²(4x²-3)(3+4x²) = 75x³-12x7.

3. Доказательство тождества:

Левая часть тождества:

\[ 2x^2(4x^2-3)(3+4x^2) \]

Переставим множители в последней скобке:

\[ 2x^2(4x^2-3)(4x^2+3) \]

Заметим, что \( (4x^2-3)(4x^2+3) \) — это разность квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2-b^2 \), где \( a = 4x^2 \) и \( b = 3 \).

\[ 2x^2((4x^2)^2 - 3^2) \]

Вычислим квадрат:

\[ 2x^2(16x^4 - 9) \]

Раскроем скобки:

\[ 2x^2 \cdot 16x^4 - 2x^2 \cdot 9 \]
\[ 32x^6 - 18x^2 \]

Мы получили выражение, отличающееся от правой части тождества. Возможно, в условии опечатка, так как \( 32x^6 - 18x^2 \) не равно \( 75x^3-12x^7 \).

Если принять, что должно быть \( 3x^2(2x^2+5)(5-2x^2) = 32x^6-18x^2 \), то решение будет таким:

Левая часть тождества:

\[ 3x^2(2x^2+5)(5-2x^2) \]

Переставим множители во второй скобке:

\[ 3x^2(2x^2+5)(- (2x^2-5)) \]

Вынесем знак минус перед множителем:

\[ -3x^2(2x^2+5)(2x^2-5) \]

Заметим, что \( (2x^2+5)(2x^2-5) \) — это разность квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \), где \( a = 2x^2 \) и \( b = 5 \).

\[ -3x^2((2x^2)^2 - 5^2) \]

Вычислим квадрат:

\[ -3x^2(4x^4 - 25) \]

Раскроем скобки:

\[ -3x^2 \cdot 4x^4 - (-3x^2) \cdot 25 \]
\[ -12x^6 + 75x^2 \]

Это также не совпадает с \( 75x^3-12x^7 \) или \( 32x^6-18x^2 \).

Предположим, что в задании имелось в виду доказать тождество: \( 3x^2(2x^2+5)(5-2x^2) = -12x^6 + 75x^2 \)

Ответ: Тождество \( 2x^2(4x^2-3)(3+4x^2) = 32x^6-18x^2 \). Тождество \( 3x^2(2x^2+5)(5-2x^2) = -12x^6 + 75x^2 \).