3. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения \(\left(b-2+\frac{4}{b+2}\right)^2\cdot\frac{b^2+4b+4}{b^4}\) не зависит от значения переменной.

Сначала приведём выражение в скобках к общей дроби:

\(b-2+\frac{4}{b+2}=\frac{(b-2)(b+2)+4}{b+2}=\frac{b^2}{b+2}\).

Представим числитель второй дроби как квадрат двучлена и упростим произведение:

\(\left(\frac{b^2}{b+2}\right)^2\cdot\frac{(b+2)^2}{b^4}=1\).

Допустимое значение переменной: \(b\ne-2\) и \(b\ne0\). Для всех таких значений выражение равно одному и тому же числу.

Ответ: значение выражения постоянно и равно 1.