3) \( \Delta ABC \) — равносторонний. Известно, что \( R = 4\sqrt{3} \). Найти: сторону треугольника \( a \) и \( r \).

Решение:

В равностороннем треугольнике \( \Delta ABC \) известен радиус описанной окружности \( R = 4\sqrt{3} \).

Формула для радиуса описанной окружности:

• \( R = \frac{a \sqrt{3}}{3} \)

Выразим сторону \( a \) из этой формулы:

• \( a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \cdot 4 = 12 \)

Теперь найдем радиус вписанной окружности \( r \) по формуле:

• \( r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \)

Подставим найденное значение \( a = 12 \):

• \( r = \frac{12 \sqrt{3}}{6} = 2 \sqrt{3} \)

Ответ: \( a = 12 \), \( r = 2\sqrt{3} \).