2) \( \Delta ABC \) — равносторонний. Известно, что \( r = 4\sqrt{3} \). Найти: сторону треугольника \( a \) и \( R \).

Решение:

В равностороннем треугольнике \( \Delta ABC \) известен радиус вписанной окружности \( r = 4\sqrt{3} \).

Формула для радиуса вписанной окружности:

• \( r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \)

Выразим сторону \( a \) из этой формулы:

• \( a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \cdot 4 = 24 \)

Теперь найдем радиус описанной окружности \( R \) по формуле:

• \( R = \frac{a \sqrt{3}}{3} \)

Подставим найденное значение \( a = 24 \):

• \( R = \frac{24 \sqrt{3}}{3} = 8 \sqrt{3} \)

Ответ: \( a = 24 \), \( R = 8\sqrt{3} \).