3. Дано: MBN D — параллелограмм; M принадлежит AB; N принадлежит CD; ∠ADM = ∠CBN. Доказать: ABCD — параллелограмм.

Так как M и B лежат на прямой AB, а N и D — на прямой CD, то из параллельности противоположных сторон параллелограмма MBND получаем:

\(MB\parallel ND\), следовательно, \(AB\parallel CD\).

Кроме того, из свойств параллелограмма MBND:

\(MD\parallel BN\).

По условию \(\angle ADM=\angle CBN\). Эти углы образованы прямыми AD и MD, а также BC и BN. Поскольку \(MD\parallel BN\), равенство соответствующих углов означает, что

\(AD\parallel BC\).

Таким образом, в четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон параллельны:

\(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\).

Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.