3.56 Найдите целые числа х и у такие, что \(x^2 = 5 + 4y^2\). В ответ запишите количество пар (х; у).

Решение:

Перепишем уравнение: \(x^2 - 4y^2 = 5\).

Это уравнение можно разложить на множители как разность квадратов:

\((x - 2y)(x + 2y) = 5\)

Так как \(x\) и \(y\) - целые числа, то \(x - 2y\) и \(x + 2y\) также являются целыми множителями числа 5. Множителями числа 5 являются пары: (1, 5), (5, 1), (-1, -5), (-5, -1).

Составим системы уравнений для каждой пары множителей:

1. Случай 1: \(x - 2y = 1\) и \(x + 2y = 5\)
• Сложим уравнения: \((x - 2y) + (x + 2y) = 1 + 5 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3\).
• Подставим \(x = 3\) в первое уравнение: \(3 - 2y = 1 \rightarrow -2y = -2 \rightarrow y = 1\).
• Пара (3; 1).
2. Случай 2: \(x - 2y = 5\) и \(x + 2y = 1\)
• Сложим уравнения: \((x - 2y) + (x + 2y) = 5 + 1 \rightarrow 2x = 6 \rightarrow x = 3\).
• Подставим \(x = 3\) в первое уравнение: \(3 - 2y = 5 \rightarrow -2y = 2 \rightarrow y = -1\).
• Пара (3; -1).
3. Случай 3: \(x - 2y = -1\) и \(x + 2y = -5\)
• Сложим уравнения: \((x - 2y) + (x + 2y) = -1 + (-5) \rightarrow 2x = -6 \rightarrow x = -3\).
• Подставим \(x = -3\) в первое уравнение: \(-3 - 2y = -1 \rightarrow -2y = 2 \rightarrow y = -1\).
• Пара (-3; -1).
4. Случай 4: \(x - 2y = -5\) и \(x + 2y = -1\)
• Сложим уравнения: \((x - 2y) + (x + 2y) = -5 + (-1) \rightarrow 2x = -6 \rightarrow x = -3\).
• Подставим \(x = -3\) в первое уравнение: \(-3 - 2y = -5 \rightarrow -2y = -2 \rightarrow y = 1\).
• Пара (-3; 1).

Найдены 4 пары целых чисел (x; y): (3; 1), (3; -1), (-3; -1), (-3; 1).

Ответ: 4