3.51 Найти сумму целых значений c, при которых дробь \(\frac{3c - 1}{c + 2}\) является натуральным числом.

Решение:

Для того чтобы дробь \(\frac{3c - 1}{c + 2}\) была натуральным числом, она должна быть целым положительным числом. Преобразуем дробь:

\(\frac{3c - 1}{c + 2} = \frac{3(c + 2) - 6 - 1}{c + 2} = \frac{3(c + 2) - 7}{c + 2} = 3 - \frac{7}{c + 2}\)

Чтобы выражение было целым числом, \(c + 2\) должно быть делителем числа 7. Делителями числа 7 являются \(1, -1, 7, -7\).

Рассмотрим случаи:

• \(c + 2 = 1 \rightarrow c = -1\). Значение дроби: \(3 - \frac{7}{1} = -4\) (не натуральное).
• \(c + 2 = -1 \rightarrow c = -3\). Значение дроби: \(3 - \frac{7}{-1} = 3 + 7 = 10\) (натуральное).
• \(c + 2 = 7 \rightarrow c = 5\). Значение дроби: \(3 - \frac{7}{7} = 3 - 1 = 2\) (натуральное).
• \(c + 2 = -7 \rightarrow c = -9\). Значение дроби: \(3 - \frac{7}{-7} = 3 + 1 = 4\) (натуральное).

Целые значения \(c\), при которых дробь является натуральным числом: -3, 5, -9.

Сумма этих значений: \(-3 + 5 + (-9) = 2 - 9 = -7\).

Ответ: -7