3.53 Найти сумму натуральных значений а, при которых дробь \(\frac{2a^3 - 2a^2 - 11a + 3}{a + 1}\) является натуральным числом.

Решение:

Для того чтобы дробь \(\frac{2a^3 - 2a^2 - 11a + 3}{a + 1}\) была натуральным числом, она должна быть целым положительным числом. Знаменатель \(a+1\) не должен быть равен нулю, значит \(a \neq -1\). Так как \(a\) - натуральное число, \(a \neq 0\) и \(a > 0\), условие \(a \neq -1\) выполняется.

Выполним деление многочлена \(2a^3 - 2a^2 - 11a + 3\) на \(a + 1\) столбиком или по схеме Горнера.

Используем схему Горнера для \(a = -1\):

  | 2  -2  -11   3
-1 |    -2    4   7
-----------------
  | 2  -4   -7  10

Результат деления: \(2a^2 - 4a - 7\) с остатком 10.

Таким образом, дробь можно представить как: \(2a^2 - 4a - 7 + \frac{10}{a + 1}\).

Чтобы это выражение было натуральным числом, \(a + 1\) должно быть делителем числа 10. Делители числа 10: \(1, 2, 5, 10\).

Рассмотрим случаи для натуральных \(a\):

• \(a + 1 = 1 \rightarrow a = 0\) (не натуральное число).
• \(a + 1 = 2 \rightarrow a = 1\). Значение выражения: \(2(1)^2 - 4(1) - 7 + \frac{10}{2} = 2 - 4 - 7 + 5 = -9 + 5 = -4\) (не натуральное).
• \(a + 1 = 5 \rightarrow a = 4\). Значение выражения: \(2(4)^2 - 4(4) - 7 + \frac{10}{5} = 2(16) - 16 - 7 + 2 = 32 - 16 - 7 + 2 = 16 - 7 + 2 = 9 + 2 = 11\) (натуральное).
• \(a + 1 = 10 \rightarrow a = 9\). Значение выражения: \(2(9)^2 - 4(9) - 7 + \frac{10}{10} = 2(81) - 36 - 7 + 1 = 162 - 36 - 7 + 1 = 126 - 7 + 1 = 119 + 1 = 120\) (натуральное).

Натуральные значения \(a\): 4, 9.

Сумма этих значений: \(4 + 9 = 13\).

Ответ: 13