27. Точка C лежит на отрезке AB, причём AB : BC = 4 : 3. Отрезок CD, равный 12 см, параллелен плоскости α, проходящей через точку B. Докажите, что прямая AD пересекает плоскость α в некоторой точке E, и найдите отрезок BE.

Так как CD ∥ α и точка B лежит в α, то в плоскости ACD через точку B можно провести прямую BE, параллельную CD. Она пересекает AD в точке E, причём E лежит в плоскости α.

Из условия \(AB:BC=4:3\), поэтому

\(AC=AB+BC\), следовательно, \(AB:AC=4:7\).

Так как BE ∥ CD, треугольники ABE и ACD подобны. Поэтому

\(\dfrac{BE}{CD}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{7}\).

Тогда

\(BE=12\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{48}{7}\text{ см}=6\dfrac{6}{7}\text{ см}.\)

Ответ: прямая AD пересекает плоскость α в точке E; \(BE=\dfrac{48}{7}\) см.